Nombres premiersA-t-on découvert une loi ordonnant les nombres premiers?
16 03 2016 ,
Depuis quelques jours, la communauté mathématique est en ébullition. Deux chercheurs a l’université de Stanford, en Californie – K. Soundararajan et R. Lemke Oliver –, aidés d’énormes processeurs, ont découvert une propriété inédite concernant les nombres premiers. Cette découverte est d’une simplicité affolante, au point de se demander pourquoi personne n’y a songé avant. Elle consiste à observer les chiffres terminant les nombres premiers, qui ne peuvent se terminer que par 1, 3, 7 ou 9 ( 0, 2, 4, 5, 6 ou 8 sont exclues ). Nos deux chercheurs ont donc observé ces les nombres inferieurs a un milliard et ont remarqué que la fréquence d’apparition de certaines terminaisons après d’autres n’était pas équiprobable.
Prenons l’exemple d’un nombre premier se terminant par 1. En toute logique, la probabilité que le premier suivant, son successeur, se termine par 1, 3, 7 ou 9 devrait être la même. Or non, justement. Il n’en est rien. Ainsi, un premier se finissant par 1 :
- 18% de chances d’être suivi par un premier de même forme.
- 30% de chances qu’il soit suivi par un premier se terminant par 3 ou 7.
- 22% par un premier se terminant par le chiffre 9.
Et ainsi de suite.
Le problème, c’est que ces écarts probabilistes ne sont pas minimes. Ils sont importants, conséquents. Suffisamment en tout cas pour poser question et surtout remettre en cause l’ordre a priori aléatoire de l’apparition des nombres premiers dans la suite des entiers.
L’écart se creuse encore plus lorsqu’on débute la chaîne par un premier se terminant par 9 :
- 65% de chances supplémentaires d’être suivi par un premier se terminant par 1 que par un autre se terminant par 9.
La logique voudrait que toutes ces probabilités s’équilibrent. Ce n’est pas le cas, on suppose l’existence d’une loi cachée ordonnant la succession des nombres premiers et leur apparition selon un critère moins aléatoire.
Enfin, pour réfuter cette découverte, on pourrait affirmer que ces fréquences d’apparitions ne sont pas si illogiques lorsqu’on observe tous les nombres, se terminant par 1, 3, 7 ou 9.
Prenons l’exemple de la chaîne 41, 43, 47 et 49. 41 est premier. Il est suivi par 43, puis par 47. La probabilité qu’il soit suivi par un premier se terminant à son tour par 1 est donc plus faible que les autres. C’est empirique et imparable, et valable pour n’importe quelle chaîne analogue.
Sauf que les deux chercheurs de Stanford ont envisagé ce cas de figure et constaté qu’il ne tenait pas la route par rapport à la magnitude des biais découlant de leur observation des nombres dans d’autres bases (exemple en base 3, où tous les nombres se terminent par 1 ou 2). En d’autres termes, les mathématiciens ont du pain sur la planche pour plusieurs décennies.
La Leland Stanford Junior University (1891) , université américaine privée, à la Silicon Valley-Palo Alto, à 55 km au sud de San Francisco et à 35 km au nord-ouest de San Jose Californie.
À 87 mètres de hauteur, la Tour Hoover domine toutes les autres structures du campus.
Le classement mondial des universités place Stanford à la 2eme place en 2019 pour la troisième année consécutive, derrière le MIT et devant Harvard.
Les professeurs de Stanford sont considérés parmi les meilleurs du monde et parmi ses professeurs et chercheurs on compte, en mars 2018, 81 lauréats du prix Nobel, 27 lauréats du prix Turing et 7 médaillés Fields.
La promotion de 2021 compte plus de 7 000 étudiants provenant de plus de 75 pays.
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