Du théorème du nid d ’ ABEILLE à la conjecture de Kelvin En mathématiques , il y a des problèmes très simples à énoncer mais très difficiles à résoudre. C’est particulièrement vrai en arithmétique, ... la conjecture de Goldbach et de Syracuse par exemple !. En géométrie aussi, il existe des conjectures qu’un collégien peut comprendre mais sur lesquelles les meilleurs mathématiciens du monde se cassent les dents. Et comme la géométrie est partout autour de nous, cela va nous permettre de faire un tour dans le monde des ABEILLES et celui des bulles de savon. Pavage : Pour refaire le carrelage de votre cuisine ! , il existe différents modèles disponibles : carrés, rectanglaires, hexagoneaux, trianglaires, mais aussi des formes plus compliquées comme des pavages "M.C. Escher". Le vendeur vous précise que quel que soit le modèle, le carreau fait toujours la même surface. Comment choisir ? Pour simplifier, on choisie le carreau qui donne le moins de joints à faire, et c’est celui dont le périmètre est le plus petit. Mais quelle est donc la forme géométrique qui pour une surface donnée possède le périmètre le plus petit ? La réponse est connue depuis longtemps : il s’agit du disque. Mais vous voyez bien qu’avec des disques on ne peut pas faire un carrelage ! Il nous faut donc trouver la forme géométrique qui possède le plus petit périmètre, et qui permet de paver une surface. Là aussi la réponse est connue depuis l’antiquité : il s’agit de l ’ HEXAGONE REGULIER. Enfin, je dis « la réponse est connue », mais en deux millénaires, personne n’avait réussi à le démontrer vraiment ! Et il a fallut attendre l’année 1999 pour que le mathématicien " Thomas Hbêteales " fournisse une preuve rigoureuse de ce résultat. Un bel exemple d’une conjecture très simple qui a résisté à des générations de mathématiciens. Bref, c’est donc le carrelage avec des hexagones qui vous permet de limiter au maximum la quantité de joints. La Nature fait souvent bien les choses, et c’est donc sans surprise que le pavage par des hexagones se retrouve chez nos amis les ABEILLES : Les alvéoles en nids d’ ABEILLES. De même que cette forme permet de minimiser les joints de carrelage, elle permet de limiter la quantité de cire a utiliser pour créer les alvéoles. Le fait que le pavage hexagonal soit le meilleur est d’ailleurs maintenant connu comme le théorème du nid d’abeille. Est-ce à dire que les ABEILLES ont réussi à résoudre un problème de géométrie très compliqué ? Pour Darwin, il s’agit plutôt d’un effet de sélection naturelle : les ABEILLES réalisant les structures les plus économes sont celles qui ont été sélectionnées par l’évolution. L’explication est plus simple, d apres "Xochipilli -Le-Webinet-des-curiosités-BLOG. On sait que si on ne cherche pas à créer un pavage, alors la forme de plus petit périmètre est le disque. Et si on juxtapose des disques et qu’on les déforme pour les forcer à se toucher, on obtient assez naturellement un pavage hexagonal ! Alors, les abeilles, pas si géniales que ça ? Le problème 3-D de Kelvin : On connait la forme optimale permettant de remplir une surface 2-D. La question en dimension 3 : Quelle est le pavage de l’espace qui possède la plus petite surface ? Pensez-vous que ce soit le cube ou la sphère ? Non, ce serait trop simple ! Le physicien britannique " Lord Kelvin " s’était posé cette question au XIXème siècle, et avait proposé sa solution : pour lui, le meilleur pavage est celui qu’on obtient avec l’ Octaèdre tronqué : c’est un volume possédant ( 14 )-Faces dont ( 8 )-Hexagones et ( 6 )-Carrés. Toutefois Kelvin n’a pas su montrer que cette forme était la meilleure, mais il croyait ferme à son résultat : cette affirmation est donc devenue : " La conjecture de Kelvin " . Pour trouver la forme optimale 3-D on peut s’inspirer de ce que font les abeilles en 2-D ! Les Mousses, des pavages en 3 dimensions : Une manière naturelle de trouver la forme hexagonale, c’est de partir de cercles juxtaposés que l’on déforme. En 3 dimensions on fait pareil, on peut a partir de sphères juxtaposées, et on les déformer pour qu’elles se touchent. Et c’est justement ce qui se passe dans une Mousse ! En effet quand des bulles se forment dans un liquide, elles sont initialement sphériques. Puis elles se touchent et se déforment pour donner des polyèdres qui remplissent l’espace en essayant de minimiser leur surface. Donc pour savoir si Kelvin avait raison, allons donc observer des Mousses. C’est justement ce qu’a fait le botaniste " Edwin Matzke " en 1946 : il a fabriqué quelques litres de mousse dont les bulles possédaient toutes le même volume, et il a observé au microscope la forme des bulles. Et parmi les milliers de bulles ainsi examinées, il n’en a pas trouvé une seule ayant la forme de l’octaèdre tronqué de Kelvin ! Au contraire, il a noté que les bulles possédaient 13 ou 14 faces, et le plus souvent des faces pentagonales, alors que l’octaèdre tronqué ne possède que des hexagones et des carrés. Il a ensuite fallut attendre 1955 pour qu’un autre botaniste, "John Dodd" , parvienne à faire la première photo d’une bulle ayant la forme de Kelvin ! Bref, Kelvin a peut-être proposé une forme optimale, mais contrairement au nid d’abeille, la nature ne semble pas très pressée de l’adopter ! L’argument mécanique proposé par "Xochipilli" pour les nids d’abeilles ne semble donc pas fonctionner en 3 dimensions ! Le Contre-Exemple de "Weaire-Phelan" : En 1994, les choses en étaient toujours là quand – coup de théatre ! – le physicien irlandais "Denis Weaire" et son étudiant "Robert Phelan" finissent par trouver un contre-exemple à la conjecture de Kelvin. Ils ont en effet trouvé un pavage possédant une surface plus petite que celle avec l’octaèdre tronqué de Kelvin. L’amélioration n’est pas démentielle, seulement 0.3%, mais ça montre, quand même, que Kelvin avait TORT ! Voyons un peu la forme trouvé par " Weaire et Phelan" , ou plutôt les formes, car leur pavage est composé de 2 éléments de volume identique : l’un possède 12-faces et l’autre 14, les faces étant des hexagones ou des pentagones. Vous pouvez admirer ci-contre la structure correspondante. A ce jour, " Weaire et Phelan" détiennent toujours le record, mais il n’existe toujours pas de preuve mathématique que cette structure soit la meilleure possible. D’ailleurs les recherches continuent, et un jeune chercheur italien, Ruggero Gabbrielli, a récemment réussi à trouver un autre contre-exemple, moins bon que Weaire-Phelan mais quand même meilleur que Kelvin. Au début de l’année 2012, il a également réalisé expérimentalement la première mousse de Weaire-Phelan. Enfin cet étrange objet mathématique inspire aussi les designers, puisque le Water Cube, la piscine des Jeux Olympiques de Pékin en 2008, a été réalisé sur le modèle de la structure de Weaire-Phelan ! Pour aller plus loin… Suite aux investigations de Matzke dans les mousses réelles, plusieurs chercheurs se sont demandés pourquoi la bulle en forme de cellule de Kelvin était si rare, alors qu’elle est censée être optimale. En 1961, "Williams" a proposé une explication : il a construit un autre polyèdre à 14 faces (on dit un tetrakaidecaèdre) qui est une variante de celui de Kelvin, et qui possède des faces pentagonales. Cette cellule de "Williams" semble être la forme privilégiée qu’adoptent les bulles dans un mousse faite de bulles monodisperses. La transformation de la cellule de Kelvin à celle de Williams est donnée dans l article. Enfin l’histoire de la démonstration du théorème du nid d’abeille par "T. Hales" est assez intéressante. Ce dernier est également l’auteur de la première preuve de la conjecture de Kepler , et qui porte sur la manière optimale d’empiler des sphères. Là aussi il s’agit d’un résultat très simple, mais la démonstration a du attendre des siècles. Et la preuve de "T. Hales" est absolument monstrueuse ! Elle s’étale sur 250 pages et 8 publications, traite plus de "5000 cas-différents" ( dont un a nécessité une thèse entière ), et fait un usage intensif de programmes informatiques dont les entrées et sorties totalisent "3 Go " ( giga-octets ) de données. Le papier a été soumis en 1998 à "Annals of Mathematics", et accepté seulement en 2005, après que les 12 réferrés aient décidé d’abandonner. Bref, une des démonstrations des plus ardues de l’histoire des mathématiques ! Après ce travail de titan, "Denis Weaire" conseille à "Thomas Hales" de s’intéresser à la conjecture du nid d’abeille : « Compte tenu de son histoire célèbre, il semble que cela vaut la peine d'essayer.» lui dit-il. Thomas Hales s’imagine en reprendre pour 10 ans. Supris ! Il realise en 6 mois et seulement 20 pages la démonstration du probleme ! Ce qui lui fait dire : « Contrairement aux années de travail forcé qui ont fourni la preuve de la conjecture de Kepler, j'ai eu l'impression de gagner à la loterie. » David "26 NOVEMBRE 2012" Source : https://sciencetonnante.wordpress.com/2012/11/26/du-theoreme-du-nid-dabeille-a-la-conjecture-de-kelvin/
Du théorème du nid d ’ ABEILLE à la conjecture de Kelvin
En mathématiques, il y a des problèmes très simples à énoncer mais très difficiles à résoudre. C’est particulièrement vrai en arithmétique, ... la conjecture de Goldbach et de Syracuse par exemple !.
En géométrie aussi, il existe des conjectures qu’un collégien peut comprendre mais sur lesquelles les meilleurs mathématiciens du monde se cassent les dents. Et comme la géométrie est partout autour de nous, cela va nous permettre de faire un tour dans le monde des ABEILLES et celui des bulles de savon.
Pavage : Pour refaire le carrelage de votre cuisine ! , il existe différents modèles disponibles : carrés, rectanglaires, hexagoneaux, trianglaires, mais aussi des formes plus compliquées comme des pavages "M.C. Escher". Le vendeur vous précise que quel que soit le modèle, le carreau fait toujours la même surface. Comment choisir ?
Pour simplifier, on choisie le carreau qui donne le moins de joints à faire, et c’est celui dont le périmètre est le plus petit. Mais quelle est donc la forme géométrique qui pour une surface donnée possède le périmètre le plus petit ? La réponse est connue depuis longtemps : il s’agit du disque. Mais vous voyez bien qu’avec des disques on ne peut pas faire un carrelage ! Il nous faut donc trouver la forme géométrique qui possède le plus petit périmètre, et qui permet de paver une surface.
Là aussi la réponse est connue depuis l’antiquité : il s’agit de l ’ HEXAGONE REGULIER. Enfin, je dis « la réponse est connue », mais en deux millénaires, personne n’avait réussi à le démontrer vraiment ! Et il a fallut attendre l’année 1999 pour que le mathématicien " Thomas Hbêteales " fournisse une preuve rigoureuse de ce résultat. Un bel exemple d’une conjecture très simple qui a résisté à des générations de mathématiciens.
Bref, c’est donc le carrelage avec des hexagones qui vous permet de limiter au maximum la quantité de joints.
La Nature fait souvent bien les choses, et c’est donc sans surprise que le pavage par des hexagones se retrouve chez nos amis les ABEILLES : Les alvéoles en nids d’ ABEILLES.
De même que cette forme permet de minimiser les joints de carrelage, elle permet de limiter la quantité de cire a utiliser pour créer les alvéoles. Le fait que le pavage hexagonal soit le meilleur est d’ailleurs maintenant connu comme le théorème du nid d’abeille.
Est-ce à dire que les ABEILLES ont réussi à résoudre un problème de géométrie très compliqué ?
Pour Darwin, il s’agit plutôt d’un effet de sélection naturelle : les ABEILLES réalisant les structures les plus économes sont celles qui ont été sélectionnées par l’évolution.
L’explication est plus simple, d apres "Xochipilli -Le-Webinet-des-curiosités-BLOG. On sait que si on ne cherche pas à créer un pavage, alors la forme de plus petit périmètre est le disque. Et si on juxtapose des disques et qu’on les déforme pour les forcer à se toucher, on obtient assez naturellement un pavage hexagonal ! Alors, les abeilles, pas si géniales que ça ?
Le problème 3-D de Kelvin : On connait la forme optimale permettant de remplir une surface 2-D. La question en dimension 3 : Quelle est le pavage de l’espace qui possède la plus petite surface ? Pensez-vous que ce soit le cube ou la sphère ? Non, ce serait trop simple !
Le physicien britannique " Lord Kelvin " s’était posé cette question au XIXème siècle, et avait proposé sa solution : pour lui, le meilleur pavage est celui qu’on obtient avec l’ Octaèdre tronqué : c’est un volume possédant ( 14 )-Faces dont ( 8 )-Hexagones et ( 6 )-Carrés. Toutefois Kelvin n’a pas su montrer que cette forme était la meilleure, mais il croyait ferme à son résultat : cette affirmation est donc devenue : " La conjecture de Kelvin " .
Pour trouver la forme optimale 3-D on peut s’inspirer de ce que font les abeilles en 2-D !
Les Mousses, des pavages en 3 dimensions :
Une manière naturelle de trouver la forme hexagonale, c’est de partir de cercles juxtaposés que l’on déforme.
En 3 dimensions on fait pareil, on peut a partir de sphères juxtaposées, et on les déformer pour qu’elles se touchent. Et c’est justement ce qui se passe dans une Mousse !
En effet quand des bulles se forment dans un liquide, elles sont initialement sphériques. Puis elles se touchent et se déforment pour donner des polyèdres qui remplissent l’espace en essayant de minimiser leur surface. Donc pour savoir si Kelvin avait raison, allons donc observer des Mousses.
C’est justement ce qu’a fait le botaniste " Edwin Matzke " en 1946 : il a fabriqué quelques litres de mousse dont les bulles possédaient toutes le même volume, et il a observé au microscope la forme des bulles. Et parmi les milliers de bulles ainsi examinées, il n’en a pas trouvé une seule ayant la forme de l’octaèdre tronqué de Kelvin ! Au contraire, il a noté que les bulles possédaient 13 ou 14 faces, et le plus souvent des faces pentagonales, alors que l’octaèdre tronqué ne possède que des hexagones et des carrés. Il a ensuite fallut attendre 1955 pour qu’un autre botaniste, "John Dodd" , parvienne à faire la première photo d’une bulle ayant la forme de Kelvin !
Bref, Kelvin a peut-être proposé une forme optimale, mais contrairement au nid d’abeille, la nature ne semble pas très pressée de l’adopter ! L’argument mécanique proposé par "Xochipilli" pour les nids d’abeilles ne semble donc pas fonctionner en 3 dimensions !
Le Contre-Exemple de "Weaire-Phelan" : En 1994, les choses en étaient toujours là quand – coup de théatre ! – le physicien irlandais "Denis Weaire" et son étudiant "Robert Phelan" finissent par trouver un contre-exemple à la conjecture de Kelvin. Ils ont en effet trouvé un pavage possédant une surface plus petite que celle avec l’octaèdre tronqué de Kelvin. L’amélioration n’est pas démentielle, seulement 0.3%, mais ça montre, quand même, que Kelvin avait TORT !
Voyons un peu la forme trouvé par " Weaire et Phelan" , ou plutôt les formes, car leur pavage est composé de 2 éléments de volume identique : l’un possède 12-faces et l’autre 14, les faces étant des hexagones ou des pentagones. Vous pouvez admirer ci-contre la structure correspondante.
A ce jour, " Weaire et Phelan" détiennent toujours le record, mais il n’existe toujours pas de preuve mathématique que cette structure soit la meilleure possible. D’ailleurs les recherches continuent, et un jeune chercheur italien, Ruggero Gabbrielli, a récemment réussi à trouver un autre contre-exemple, moins bon que Weaire-Phelan mais quand même meilleur que Kelvin. Au début de l’année 2012, il a également réalisé expérimentalement la première mousse de Weaire-Phelan.
Enfin cet étrange objet mathématique inspire aussi les designers, puisque le Water Cube, la piscine des Jeux Olympiques de Pékin en 2008, a été réalisé sur le modèle de la structure de Weaire-Phelan !
Pour aller plus loin…
Suite aux investigations de Matzke dans les mousses réelles, plusieurs chercheurs se sont demandés pourquoi la bulle en forme de cellule de Kelvin était si rare, alors qu’elle est censée être optimale. En 1961, "Williams" a proposé une explication : il a construit un autre polyèdre à 14 faces (on dit un tetrakaidecaèdre) qui est une variante de celui de Kelvin, et qui possède des faces pentagonales. Cette cellule de "Williams" semble être la forme privilégiée qu’adoptent les bulles dans un mousse faite de bulles monodisperses. La transformation de la cellule de Kelvin à celle de Williams est donnée dans l article.
Enfin l’histoire de la démonstration du théorème du nid d’abeille par "T. Hales" est assez intéressante. Ce dernier est également l’auteur de la première preuve de la conjecture de Kepler , et qui porte sur la manière optimale d’empiler des sphères. Là aussi il s’agit d’un résultat très simple, mais la démonstration a du attendre des siècles. Et la preuve de "T. Hales" est absolument monstrueuse ! Elle s’étale sur 250 pages et 8 publications, traite plus de "5000 cas-différents" ( dont un a nécessité une thèse entière ), et fait un usage intensif de programmes informatiques dont les entrées et sorties totalisent "3 Go " ( giga-octets ) de données. Le papier a été soumis en 1998 à "Annals of Mathematics", et accepté seulement en 2005, après que les 12 réferrés aient décidé d’abandonner. Bref, une des démonstrations des plus ardues de l’histoire des mathématiques !
Après ce travail de titan, "Denis Weaire" conseille à "Thomas Hales" de s’intéresser à la conjecture du nid d’abeille : « Compte tenu de son histoire célèbre, il semble que cela vaut la peine d'essayer.» lui dit-il.
Thomas Hales s’imagine en reprendre pour 10 ans. Supris ! Il realise en 6 mois et seulement 20 pages la démonstration du probleme ! Ce qui lui fait dire : « Contrairement aux années de travail forcé qui ont fourni la preuve de la conjecture de Kepler, j'ai eu l'impression de gagner à la loterie. »
David
"26 NOVEMBRE 2012"
Source : https://sciencetonnante.wordpress.com/2012/11/26/du-theoreme-du-nid-dabeille-a-la-conjecture-de-kelvin/
10 avr. 2019 à 17:48
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